有限数学示例

${(2 k + 1)}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 k)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 k)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 k)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 k)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 k)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(2 k)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.1

移动 ${(1)}^{0}$ 。

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

将 ${(1)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.2

化简 $1^{1} \cdot {(2 k)}^{3}$ 。

${(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.3

对 $2 k$ 运用乘积法则。

$2^{3} k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.5

对 $2 k$ 运用乘积法则。

$8 k^{3} + 3 \cdot (2^{2} k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 k^{3} + 3 \cdot (4 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.8

计算指数。

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.9

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.10

化简。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot (2 k) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.12

一的任意次幂都为一。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.13

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

解题步骤 4.14

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.14.1

移动 ${(1)}^{3}$ 。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{0}$

解题步骤 4.14.2

将 ${(1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.14.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{0}$

解题步骤 4.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}$

解题步骤 4.14.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$

解题步骤 4.15

化简 $1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$ 。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4}$

解题步骤 4.16

一的任意次幂都为一。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1$

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